关于欧拉-拉格朗日方程

 Euler-Lagrange方程是经典的能量极小化的求解方法。当能量函数包含微分时,用变分方法推导其证明过程。简单的说,证明思路是:假设当前的函数(即真实解)已知,那么这个解必然使能量函数取全局最小值。换言之,在此真实解上加入任何扰动,都会使能量函数变大。当扰动的能量趋于0时,能量函数关于扰动的导数就是0.关键问题是扰动如何表示,才能便于上述过程的实现呢?答案就是扰动被表示成一个幅度很小的连续函数乘以一个扰动因子a,当a趋于0时意味着扰动的能量趋于0,这时能量泛函对a求导等于0就等价于能量泛函对扰动求导等于0。不得不承认这时一个非常绝妙的问题转化,把对函数的求导变为对单变量的求导。然后再利用变分算子的基本引理,就可以证明了。维基百科有详细的证明。

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